初中数学每周挑战题

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初一上：

第4周挑战答题

【概念学习】定义新运算: 求若干个相同的有理数(均不等于 0)的商的运算叫做除方、比如：
$$
\begin{flalign}
&2÷2÷2\
&(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)&
\end{flalign}
$$

  • 类比有理数的乘方，
  • 我们把 $22÷2$ 写作 $2^③$，
  • 读作“2 的圈 3 次方”
  • $(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$ 写作 $(-3)^④$，
  • 读作“(-3)的圈 4 次方“，
  • 一般地，把 $\underbrace{a÷a÷a÷a}_{n个a}$ 记作: $a^ⓝ$ ，
  • 读作”a 的圈 n 次方“，
  • 特别地，规定: $a=a^①$，

【初步探究】：

  • 直接写出计算结果：
    $2023^②$ = 　　　　
  • 若 n 为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有: 　　　 填写序号
    A.任何非零数的圈 2 次方都等于 1
    B.任何非零数的圈 3 次方都等于它的倒数
    C.圈, 次方等于它本身的数是 1 或-1
    D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

【深入思考】

  • 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？请把有理数 a(a ≠ 0)的圈 n(n≧ 3)次方写成幂的形式：
    $a^ⓝ=$ 　　　　
  • 计算：$-1^⑨-14^2÷(-\frac{1} {2})^④x(-7)^⑧$

第7周挑战答题

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点 A，点 B 表示的数分别为 a，b，则 A，B 两点之间的距离 $AB=|a-b|$。如：$|5-(-2)|$ 表示 5 与（-2）之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与（-2）两数在数轴上所对的两点之间的距离，如图，数轴上点 A 表示的数为（-5），点 B 表示的数为 1。

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【初步探究】：

  • (1)线段 AB 的长度是：              ,
  • 设点 P 在数轴上对应的数为 x，若|x-2|= 3，
    则 x =                  ;
  • (2)解答下面各小题：
    ① 找出所有符合条件的整数 $x$，使得
    $|x+4|+|x-3|=7$，
    这样的整数是                    ；
    $|x + 2| - |x – 1|$ 的最大值为                    ；
    ② 由以上探索猜想：
    当 x =                           时，
    $|x+ 4| + |x+ 1| + |x- 2|$ 的值最小，
    最小值为                                 ；

【深入思考】

  • (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区 A，B，C 和市民广场 O，居民区 A，B，C 分别位于市民广场左侧 $5km$，右侧 $1km$，右侧 $3km$。A 居民区有居民 $1000$ 人，B 居民区有居民 $2000$ 人，C 居民区有居民 $3000$ 人。现因物流需要, 需要在该公路上建菜鸟驿站用于接收这 $3$ 个小区的快递，若快递的运输成本为 $1元$/(千份·千米)，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？

第8周挑战答题

定义：对于任意的有理数 a，b(a≠b), a ⊕ b = $\frac{1}{6}$ (3|b-a|+3a+3b)。

（1）探究性质:

① 例: 4 ⊕ 3 =             ;(- 3) ⊕ 2 =              ；

② 你还可试几个看看，请用含 a，b 的式子表示出 ab 的一般规律:

当 a > b 时，a ⊕ b =                  ；当 a < b 时, a ⊕ b =              ；

(2) 性质应用:

① 运用发现的规律求 [(-2024) ⊕ (-2023)] ⊕ [2023 ⊕ 2024] 的值：

② 将-10,-9，-8,…，7,8,9 这 20 个连续的整数，任意分为 10 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作 a，另一个记作 b，求出 a ⊕ b，10 组数代入后可求得 10 个 a⊕ b 的值，则这 10 个值的和的最小值是                  ；

第9周 挑战答题

【阅读理解】点 A、B 在数轴上对应的数分别是 a，b，且|a+2|+$(b-8)^2$ = 0，A，B 两点的中点表示的数为 $\frac{a+b}{2}$；当 b > a 时，A、B 两点间的距离为 AB = b-a

  1. 求 AB 的长。
  2. 点 C 在数轴上对应的数为 x，且 x 是方程 2x + 8 = x - 2 的解，在数轴上是否存在点 p，使 PA+PB = PC ?，若存在，求出点 p 对应的数；若不存在，说明理由。
  3. 点 E 以每秒 1 个单位的速度从原点 O 出发向右运动，同时点 M 从点 A 出发以每秒 8 个单位的速度向左运动，点 N 从点 B 出发，以每秒 5 个单位的速度向右运动，PQ 分别为 ME、0N 的中点，求证：在运动过程中 $\frac{MN-OE}{PQ}$ 的值不变，并求出这个值。

第10周挑战答题

(2023 秋·亭湖区校级期中)如图 ①，在数轴上，点 0 为坐标原点，点 A、B、C、D 表示的数分别是 -16、6、18、26，动点 P、Q 同时出发，动点 P 从点 B 出发，沿数轴以每秒 4 个单位的速度向点 C 运动，当点 P 运动到点 C 后，立即按原来的速度返回，动点 Q 从点 C 出发，沿数轴以每秒 2 个单位的速度向终点 D 运动，当点 Q 到达点 D 时，点 P 也停止运动，设点 P 的运动时间为 t(t > 0)秒。

  1. 点 A 与原点 O 的距离是          ；
  2. 点 P 从点 B 向点 C 运动过程中，点 P 与原点 0 的距离是                (用含 t 的代数式表示)。
  3. 点 P 从点 B 向点 C 运动过程中，当点 P 与原点 0 的距离怡好等于点 P 与点 Q 的距离时，求 t 的值。
  4. 在点 P、Q 的整个运动过程中，若将数轴在点 0 和点 P 处各折一下，使点 Q 与点 A 重合，如图 ② 所示，当所构成的三角形 OPQ 中恰好有两条边相等时，求 t 的值。

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第11周挑战答题

(2025 秋·岳麓区校级月考)距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度，已知点 P，Q 在数轴上分别表示有理数 p、q，P，Q 两点之间的距离表示为 PQ =|p-q|。例如，在数轴上，有理数 3 与 1 对应的两点之间的距离为|3-1|= 2；有理数 5 与 -2 对应的两点之间的距离为|5-(-2)|= 7；解决问题：

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已知有理数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为 A，B，C，且满足|a-1|+|3+b|= 0，c =-2+b

  1. 则 a =          ；b =           ；c =         ；
  2. 若点 D 在数轴上对应的数为 X，当 A、D 间距离是 B、C 间距离的 5 倍时，请求出 x 的值；
  3. 点 M 是 AB 的中点，0 为原点，点 N 为数轴上一动点，当 AN+MN+BN-ON 取最小时，满足条件的点 N 对应的整数值共有                个。

（4）若点 A 和点 B 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 1 个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为 t 秒，是否存在一个常数 k，使得 5AC-kAB 的值在一定时间范围内不随运动时间 t 的改变而改变？ 若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。

第 12 周 挑战答题

(2025 秋·岳麓区校级月考)对有理数 a，b，定义 G(a，b)的计算方式为：当 a≤b 时，G(a，b)= a - b；当 a > b 时，G(a，b)= a + b。例如：

G(1，3)= 1-3 =-2；G(2，-1)= 2+(-1)= 1；

  1. 填空：G(2，-3)=           ； G(-1，3)=                  ；G(a，a)=                ；
  2. 已知 x+y = 20，且 x > 10，求 $G(6，x) - G(10，y)$ 的值；
  3. 设代数式 M = G(1，a+b)+G(2，a+2b)+G(3，a+3b)+…+G(199，a+199b)，已知 A，B 是数轴上的两个点，分别表示有理数 a 和 b，且线段 AB 的长为 4，若数 a 满足关系式 $G(-|a|+1，1)=0$，求 M 的值。

第13周挑战答题

阅读材料并回答问题:

对任意一个三位数 M = abc(1≤a≤9，1≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c 为整数)，若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称 M 为“万象数”，现将“万象数”M 的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数 N，并规定 $K(M)=N-M$，我们称新数 K(M)为 M 的“格致数”例如 154 是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数 N = 541，K(154)= 541-154 = 387，所以 154 的“格致数”为 387。

  1. 填空：当 M = 253 时，N =           ：当 M = 198 时，K(198)=           ；
  2. 求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”K(M)都能被 9 整除；
  3. 已知某“万象数”M 的“格致数”为 K(M)，K(M)既是 72 的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M(完全平方数：如 0 = 02，1 = 12，4 = 22，9 = 32，16 = 42，…, 我们称 0，1，4,9,16……为完全平方数)

第14周挑战答题

“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，定义：如果两个一元一次方程的解的和为 1，则称这两个方程互为“归一方程”

  1. 若方程 $2x=4$ 与关于 $x$ 的方程 $mx=1$ 互为“归一方程”，求 m 的值。
  2. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{3}$+a = 0 与关于 x 的方程 $\frac{3x-2}{5}$ = $\frac{x+a}{2}$ 互为“归一方程”，求 a 的值。
  3. 若关于 $x$ 的两个方程 3x+2(m +1)= mn 与 $\frac{1}{2}$ mn-$\frac{3}{4}x$ = m +$\frac{1}{4}$ 互为“归一方程”求出所有满足条件的正整数 m、n 值.

第16周 挑战答题

已知一个关于 $x$ 的一元一次方程 $cx$+$d$ = 0 ($c≠0$，$d$ 为常数)，若这个方程的解恰好为 $x$ = $c$+$d$ 或 $x$ = $-c$ $-d$ 则称这个方程为“幸福方程”。例如：$-2x$+4 = 0 的解为 $x$ = 2，而 $-2$+4 = 2，则方程 $-2x$+4 = 0 是“幸福方程”
(1)下列方程是“幸福方程”的打“$\surd$”，不是“幸福方程”的打“$\times$”;
①3x-$\frac{9}{4}$-= 0 (         ) ② $x$-7 = 0 (        ) ③-3x+1 =-$\frac{7}{2}$ (         )
(2)若关于 $x$ 的方程 $2x$+m = 0 是“幸福方程”，求 m 的值；
(3)若关于 x 的方程 $ax$-b = 0 是“幸福方程”，求关于 y 的方程 α(b-a)y+5 =(-b+1)y 的解。

第17周 挑战答题

数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础。如图，在数轴上点 A 表示数 a，点 B 表示数 b，点 C 表示数 c，其中 b 是最小的正整数，且多项式(a+2)$x^3$+$2x^2$+9x+5 是关于 x 的二次多项式，一次项系数为 c。
(1) a =           ；b =             ；C =               ；
(2) 若将数轴折叠，使得点 A 与点 C 重合，此时点 B 与某数表示的点重合，则此数为           ；
(3) 在数轴上剪下 AC 从 a 到 c 这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图)。若这三条线段的长度之比为 2：2：5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？
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第18周挑战答题

新定义：如图 1，已知射线 OP 在 $\angle$ MON 的内部，图中共有 3 个角：$\angle$ MON $\angle$ MOP 和 $\angle$ PON，若其中有一个角的度数是另一个数的两倍，则称射线 OP 是 $\angle$ MON 的 “立信线”。

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(1) 一个角的平分线        这个角的 “立信线”;（填 “是” 或 “不是”）

(2) 如图 2，若 $\angle$ MON = 60°，射线 OP 绕点 O 从 ON 位置开始。以每秒 10° 的速度逆时针旋转，当 OP 与 ON 首次成 180° 时停止旋转，设射线 OP 旋转的时间为 t 秒。求当 t 为何值时，射线 OP 是 $\angle$ MON 的 “立信线”；

(3) 如图 3，射线 ON 为 $\angle$ POD 的 “立信线”，且 $\angle$ DON = 2 $\angle$ NOP，射线 OA、OB 分别为 $\angle$ MOP、$\angle$ NOD 的平分线，请猜想 $\angle$ AOB、$\angle$ NOP、$\angle$ MOD 会有怎样的数量关系？并说明理由。

第19周挑战答题

已知直角三角板 OAB ( ∠ AOB = 90°，∠ OAB = OBA = 45° ） 和直角三角板 OCD（∠ D = 90°, ∠ C = 60°, ∠ COD = 30°），如图 1 摆放，点 O、A、C 在一条直线上，将直角三角板 OCD 绕点 O 逆时针方向转动 n°，变化摆放如图 2、3、4、5 位置。
<span style="font-family:serif;">image-20260106074648188</span>
(1) 当 OD 平分 ∠ AOB 时，∠ AOC =           。
(2) 如图 4，当 0° < n° < 60° 时，作射线 OM 平分 ∠ AOC，射线 ON 平分 ∠ BOD，则 ∠ MON 与 ∠ C 存在怎样的数量关系？请说明理由；
(3) 如图 5，
① 当 60° < n° < 90° 时，保持射线 OM 平分 ∠ AOC，射线 ON 平分 ∠ BOD，则 ∠ MON 与 ∠ C 存在怎样的数量关系?请说明理由；
② 当 90° < n°≤180° 时，保持射线 OM 平分 ∠ AOC，射线 ON 平分 ∠ BOD，请直接写出 ∠ MON 与 ∠ C 的数量关系。

初一下

第2周 挑战答题

已知 AB//CD，P 是截线 MN 上的一点，MN 与 CD，AB 分别交于 E，F。
2468bdbfa25d56a80753dbaf7d1cd649 （1）如图(1)，P 在 AB、CD 之间，若 ∠EFB = 50°，∠EDP = 35°，求 ∠MPD 的度数；
（2）如图(1)，当点 P 在线段 EF 上运动时，∠CDP 与 ∠ABP 的平分线交于 Q，则 $\frac{∠Q}{∠DPB}$ 是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）如图(2)，当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时 ∠CDP 与 ∠ABP 的平分线交于 Q，$\frac{∠Q}{∠DPB}$ 的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由。

+,-, ×, ÷, =, ≠, ≤, ≥, <,> ∠ °