初中数学记录

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记录初中数学中的错题，便于以后复习
初一

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带圆圈的数字

  1. 已知点 A，B 在数轴上分别表示有理数 a，b, 则|AB|表示 A，B 两点之间的距离.
    如图 1，当 A，B 两点中有一点在原点时(假设点 A 在原点)，；
    如图 2，当 A，B 两点都在原点右侧时，；
    如图 3，当 A，B 两点都在原点左侧时，；
    如图 4，当 A，B 两点在原点两侧时，。

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  • 已知数轴上点 C，D，E 分别表示 10，8，7，求 ICDI,，IDEI。
  • 若点 M 表示的数是一 5，点 N 表示的数是 ，且 ，则的值是多少?

  1. 夏令时时，芝加哥与北京的时差是 小时(负数表示同一时刻芝加哥比北京晚)，小明 2025 年 4 月 2 日 3:00 乘坐飞机从北京起飞，7 小时后到达芝加哥，此时芝加哥的时时间为：（ ）

  2. 正六边形 ABCDEF(每条边都相等)在数轴上的位置如图所示, 点 A，F 表示的数分别为-2 和-1， 现将正六边形 ABCDEF 绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转， 翻转 1 次后, 点 E 所表示的数为 0，连续翻转多次后数轴上 2024
    所对应的点是 ( )
    A. C 点　　　 B. D 点　　　C. E 点　　　 D. F 点

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  1. 如图，某点从 数轴上的 A 点出发，第 1 次向右移动 1 个单位长度至 B 点，第 2 次 从 B 点向左移动 2 个单位长度至 C 点，第 3 次从 C 点向右移动 3 个 单位长度至 D 点，第 4 次从 D 点向左移动 4 个单位长度至 E 点，… …，以此类推，经过 n 次移动后该点到原点的距离为 50 个单位长 度，则符合条件的 n 的和为 ( )
    A.205　　　 B.202　　　 C.199　　　 D.196

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  1. 如图 1，A，B，C 是数轴上从 左到右排列的三个点, 表示的数分别为-5，b，1，某同学将刻度尺 按图 2 的方式放置，使刻度尺上的数字 0 对齐数轴上的点 A，发 现点 B 对齐刻度 1.8 cm，点 C 对齐刻度 5.4 cm，则数轴上点 B 所表 示的数 b 为（ ）
    A. -3　　　 B. -2　　　 C. -1　　　 D. 3
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  2. 有理数 a，b 对应 的点在数轴上的位置如图所示：
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    (1) 在数轴上分别用 A，B 两点表示-a，-b。

    (2) 若数 b 与 -b 对应的点相距 20 个单位长度，则数 b 与 -b 分别是 什么?

    (3) 在(2)的条件下，若数 a 对应的点与数 b 对应的点相距 15 个单 位长度，则数 a 与 -a 是多少?

  3. 如果 为有理数，式子 存在最大值，那么这个最大值是（ ）
    A. 2 024　　　 B. 2 023　　　 C. 2 022　　　 D. 2 021

  4. 若|a|+|b|= 10，且 a，b 都是奇 数，则满足条件的 a 与 b 共有( )对。

  5. 我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点 的距离，即||=| 0|，这个结论可以推广为|-a|表示在数轴上数 ，a 对应的点之间的距离，绝对值的几何意义在解题中有着广泛 的应用。
    （1）【例】已知|-2|= 5，求 的值。解：因为数轴上与表示 2 的点的距离为 5 的点表示的数为 7 或 -3， 所以 = 7 或 -3。
    （2）仿照上述解法，求下式中 x 的值：|()|= 3。
    （3）求|x-(-2)|+|x-3|的最小值。

  6. 若|a-2|+|b-1|= 0，则 a+b 的值为：（ ）

  7. 甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙订购某种商品若干件，商品买来后，乙比甲少 2 件，丙比甲多拿了 4 件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补. 已知丙要付给甲 20 元，那么丙还应付给乙            元。

​

  1. 数轴上点 A 对应的数为 1，另有一动点 P 从点 A 出发, 按如下规律运动：
    1 秒后运动到点 P，点 P 在数轴上对应的数为 p，
    2 秒后运动到点 P，点 P 在数轴上对应的数为 2p，
    3 秒后运动到点 P, 点 P; 在数轴上对应的数为 3p，
    依照此规律，t 秒后运动到点 p t ，点 p t 在数轴上对应的数为 tp，
    (1) 若 p = ，求点 p 3 ，p 4 ，p 5 ；分别到点 A 的距离之和 。
    (2) 若 p ，求点 p 1 ，p 2 ，p 3 ；分别到点 A 的距离之和；
    (3) 设动点 P 运动 20 秒后，将 p 1 ，p 2 ，p 3 ， 到点 A 的距离之和记为 S，当 p 在某一个范围内变化时，S 始终为定值，请求出这个 p 的范围及 S 的定值。

  2. 定义“数对映射” ，对于任意有理数 x，y ，若 x ≥ y，则 ， =(x-1)+y；若 x < y ，则 = x+(y-2)。例： = 0+(1-2)= -1。
    （1）计算： =               ； =                 ；
    （2）如果 = 3，求 m 的值。
    （3）在（2）的基础上，若 =|n|，求整数 n 的所有可能值。

  3. 求： 的最小值。

  4. 当                       时， |-1|+|-2|+|-3|+|-4| 的式子取得最小值。

  5. (2024 浙江金华东阳期末)如图所示的是一个二阶幻圆模型, 现将 -1，2，-3，4，-5，6，-7，8 分别填入圆圈
    内, 使横纵向以及内外圆圈上的 4 个数字之和都相等, 则 a+b 的 值是              

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  1. (2025 山东泰安泰山期中, ★★☆) 1+(-2)+(+3)+(-4)+(+5)+(-6) +…+(+199)+(-200)+(+201)的结果是( )
    A. 0　　　 B. -1　　　 C. -100　　　 D. 101
  2. 如图, 在数轴上，点 A 表示 1，现将点 A 沿数轴做如下移动：第 1 次将点 A 向左移动 3 个单位长度到达点 A 1，
    第 2 次将点 A 1 向右移动 6 个单位长度到达点 A 2，第 3 次将点 A 2 向 左移动 9 个单位长度到达点 A 3，第 4 次将点 A 3 向右移动 12 个单位 长度到达点 A 4，……，按照这种规律移动下去，至少移动              次后该点到原点的距离不小于 14。

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  1. 计算：1-+ - + - + - + - + 的结果。

  2. (2025 江西萍乡期中, ★★★)已知有理数 a ≠1，我们把称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 = -1，-1 的差倒数是 = 。如果 = -2， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，……，依此类推，那么 的值是( )。
    A. -2 　　 B.  　　　 C.  　　　 D.

  3. (2025 福建师大附中期中，★★★)观察下列三行数，并解答后面的问题：
    ① -2，4，-8，16，-32，…；
    ② 1，-2，4，-8，16，…；
    ③ 0，-3，3，-9，15，….。
    (1)根据第 ① 行数的规律，写出其中第 n 个数：                    
    (2)根据排列规律，分别写出上面三行数的第 7 个数，并计算这三个数的和。
    (3)设 x，y，z 分别表示第 ①②③ 行数的第 2024 个数，求出 x+y+z 的值。

  4. 计算：36x 的值

  5. 计算： ÷ + - -

  6. (2025 河南信阳新县期中)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型。在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 来表示，即 = 2， = = 8， = 16， = 32，……，请你推算 +++++…+ 的个位上的数字是 ( )。
    A. 6　　　 B. 4　　　 C. 2　　　 D. 0

  7. (2024 山东济宁中考, ★★☆)已知 a 2-2 b+1 = 0，则 的值是                    。

  8. （教材变式 P121 例 2](★★☆)有一列数 1，-2，4，-8，16，-32，64，-128，…，若这一列数中某三个相邻的数的和是 768，则这三个数分别是多少？

  9. 一列火车匀速驶过一座桥，火车完全通过桥共用了 50 s，整列火车在桥上的时间为 30 s，已知桥长 1200 m，求火车的车身长和速度。

  10. (2025 江苏南通如皋期末)某商店销售一批服装一段时间后降价促销，利润率降低了 15 个百分点，降价前销售 16 件与降价后销售 18 件的销售额相同，降价前的利润率是                 。

  11. 若关于 x 的方程 5x-3 = kx+4 有整数解，则满足条件的所有整数 k 的和为 ( )
    A：20 B：6 C： 4 D：2

  12. 定义: 已知 ， 分别是关于 x，y 的方程的解，若满足：|- l = k (k 为正数)，则称前者是后者的“k 属方程”，例如：方程 x-2 = 0 的解是 x = 2，方程 2y = 6 的解是 y = 3，且満足|2 - x3|= ，则称方程 x-2 = 0 是方程 2y = 6 的“ 属方程”。
    (1) 下列方程是方程 3y-1 = 5 的“1 属方程”的是 ( )(请填写正确的序号)：
    ① 2x = 0； ② 3+x = 2(x+1)； ③ 3-2x = 3x-7；
    (2) 若关于 x 的方程 - x = 2 是关于 y 的方程 3(2-y)= 4a-4(y-1)的“2 属方程”，求整数 a 的值；
    (3) 若对于任何正数 m，关于 x 的方程 2(x-3)= 4m-9 都是关于 y 的方程 3y+2n = 4mn 的“m 属方程”，求 n 的值。

  13. (2025 山东青岛李沧期末)为倡导全民节水，某城市居民年生活用水实行三段式阶梯计价，每一阶梯都有相对应的价格，具体数据如表:

    收费方式 年用水量/ 价格/元
    第一阶梯 0~180 4.5
    第二阶梯 180~240 6
    第三阶梯 240 以上 8

    (注：每一阶梯年用水量不包含最小值，包含最大值)
    (1) 小明家年用水量为 100 ，需缴水费_              元；丽丽家年用水量为 220 ，需缴水费            元；芳芳家年用水量为 245 ，需缴水费                元。
    (2) 设某户居民的年用水量为 x ()，用含 x 的代数式表示 x 位于不同的阶梯时，相应的总费用。

    收费方式 年用水量 x/ 总费用/元
    第一阶梯 0~180 ①　　　
    第二阶梯 180~240 ②　　　
    第三阶梯 240 以上 ③　　　

    (3) 已知某户居民一年的水费为 1 110 元，这户居民的年用水量是多少 ？

  14. (2025 河南驻马店汝南期末, ★★☆)如图所示的是某市民健身广场的平面示意图，它是由 6 个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形 A 的边长是 1 米。设图中最大的正方形 B 的边长是 x 米。
    (1) 请用含 x 的代数式分别表示出正方形 F 的边长 =       ，正方形 E 的边长 =           ，正方形 C 的边长 =            。
    (2) 长方形相对的两边是相等的(如图中的 MN = PQ)，根据等量关系可求出 x =            。
    (3) 现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要 10 天、15 天完成。如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工 2 天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙队还要多少天完成？甲、乙两个工程队各铺设多少米？
    image-20251222084251359

  15. (2025 河南漯河期中)如图，已知甲、乙两人在一个 200 米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的 4 段，即两条直道和两条弯道的长度相同，甲平均每秒跑 4 米，乙平均每秒跑 6 米, 甲、乙两人分别从 A，C 两处同时相向出发。
    (1) 首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？在哪一段跑道上？
    (2) 若首次相遇后，甲、乙两人决定同方向练习跑步，问甲、乙两人经过多少时间再次相遇？在哪一段跑道上？
    image-20251222085044099

  16. 一列火车匀速行驶，通过一条长 300 m 的隧道需要 20 s 的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下照射，灯光照在火车上的时间是 10 s。求这列火车的长度。
    车速 × 过桥时间=车长+桥长(完全通过桥)。 image-20260102110544750

  17. 我们规定，若关于 x 的一元一次方程 ax = b(a≠0) 的解为 x = a-b，则称该方程为“天心方程”。例如：2x = 的解为 x = ，而 2 = ，则该方程 2x = 就是“天心方程”，请根据上述规定解答下列问题：
    (1) 一元一次方程 2x = 4           _(填“是”或“不是”)“天心方程”。
    (2) 若关于 x 的一元一次方程 4x = c 是“天心方程”，则 c =        
    (3) 若关于 x 的一元一次方程 3x = a+ab(a≠0) 是“天心方程”，且它的解为 x = a，求 a、b 的值。
    (4) 若关于 x 的一元一次方程 x = 3m-mn 和关于 y 的一元一次方程 = mn-2n 都是“天心方程”，求代数式 2(mn-3n)+(33m-8mn) - 的值。

  18. (2025 四川成都月考)(12 分)某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动, 现有三种收费方式，详情见下表：

    收费方式 详细介绍
    日卡 日卡一张 30 元
    会员卡 办卡需 210 元，每活动 1 小时收费 4 元
    普通卡 进入文体中心要收取 10 元/日，可免费文体活动 2 小时，后续收费 5 元/小时

    (注：不足一个小时的按一小时计算)
    (1) 小明打算这周六去文体中心活动 6 小时，最少需要花费                  元。
    (2) 小明打算一个月(30 天)都去文体中心活动，每天活动的时间为 小时( 为正整数, 且 ≥2)。
    ① 如果小明选择办会员卡，那么一个月需要花费            元；如果小明选择办普通卡，那么一个月需要花费                元。(用含 的代数式表示)
    ② 对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式, 哪种更划算？

  19. (2023 山东青岛中考)一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，其展开图如图 ① 所示，在一张不透明的桌子上，按如图 ② 所示的方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是 ( )
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    A. 31 B. 32 C. 33 D.34

  20. 【新课标·模型观念】如图所示：
    image-20260102115402747
    (1) 观察：如果每过两点画一条直线，
    那么图 ① 最多可以画                  条直线；
    图 ② 最多可以画               条直线；
    图 ③ 最多可以画              条直线。
    (2) 探索归纳：如果平面上有 n(n ≥3)个点，且每 3 个点均不在同一条直线上，那么最多可以画               条直线(用含 n 的式子表示)。
    (3)解决问题：某校七年级 6 个足球队准备进行单循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需              场比赛。

  21. (2025 宁夏中卫三中期末)点 O 为直线 AB 上一点，将一直角三角尺 OMN 的直角顶点放在 O 处，射线 OC 平分，∠ MOB。
    (1)如图 1，若 ∠ AOM = 40°，则 ∠ CON =         。
    (2)将图 1 中的直角三角尺 OMN 绕顶点 O 顺时针旋转至图 2 的位置，一边 OM 在直线 AB 上方，另一边 ON 在直线 AB 下方。
    ① 试探究 ∠ AOM - ∠ BON 的结果是不是定值。若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由。
    ② 当 ∠ AOC = 3∠ BON 时，求 ∠ BON 的度数。
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  22. 如图 1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图 2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为 A，B 两点，两脚脚跟位置分别为 C，D 两点，定义 A，B，C，D 平面内 O 为定点，将手脚运动看作绕点 O 进行旋转:
    image-20260107213453946
    (1) 填空：如图 2，A，O，B 三点共线，且 ∠ AOC = ∠ BOC，则 ∠ AOC =            ；
    (2) 第三节腿部运动中，如图 3，欢欢发现，虽然 A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且 ∠ AOD：∠ BOC = 6：5，她经过计算发现， 的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
    (3) 第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且 ∠ COD = 30°，开始运动前 A，O，B 三点在同一水平线上，OA，OB 绕点 O 顺时针旋转，OA 旋转速度为 50°/s，OB 旋转速度为 25°/s，当 OB 旋转到与 OD 重合时，运动停止，如图 4。
    ① 运动停止时，直接写出 ∠ AOD =                   
    ② 请帮助乐乐求解运动过程中 ∠ AOC 与 ∠ BOE 的数量关系。

  23. 如图，现有若干片相同的拼图，其凸出的部分是直径为 4cm 的半圆。若 4 片拼图紧密拼成一排时的长度为 38cm，则 n 片拼图紧密拼成一排时的总长度为               cm。(用含 n 的代数式表示)
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  24. 已知 ()是关于 的多项式，记为 。我们规定： 的导出多项式为 +, 记为 。例如：若 = ，则 的导出多项式 = = 。
    根据以上信息, 回答问题:
    （1）若 ，则它的导出多项式 =                ；
    （2）设 是 的导出多项式。
    ① 若 ，关于 的方程 的解为 2，求 的值；
    ② 已知 是关于 的二次多项式，且关于 的方程 的解为整数，求正整数 的值。

  25. 如图 1，数轴上的点 A 表示的数为 a，B 表示的数为 b，且 。点 C 是线段 AB 的中点。
    （1）点 C 表示的数是               ；
    （2）若动点 M 从点 A 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点 N 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 M, N 同时出发，当点 N 到达点 A 时，两动点同时停止。设运动时间为 t 秒，则：
    ① 点 M、N 表示的数分别是           、              (用含 t 的代数式表示)；
    ② 若在运动过程中，存在 CM CN，请求出 t 的值。
    [方法迁移]
    （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图 2，∠AOB = 80°，OC 平分 ∠AOB。射线 OM 从 OA 出发，以每秒 1° 的速度绕点 O 顺时针旋转，射线 ON 从 OB 出发，以每秒 2° 的速度绕点 O 逆时针旋转。射线 OM，ON 同时出发，当 ON 到达 OA 时，运动同时停止。设旋转时间为 t 秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得 ∠COM 和 ∠CON 两个角中，其中一个角是另一个角的 3 倍，请求出所有符合题意的 t 的值。
    image-20260110111327392

  26. 如图 1，已知 AB//CD，∠B = 30°，∠D = 120°。
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    （1 ) 若 ∠BEF = 60°，则 ∠EFD 的度数为          ；
    （2) 请探索 ∠BEF 和 ∠EFD 之间满足的数量关系，并说明理由；
    （3) 如图 ②，已知 EP 平分 ∠BEF，FG 平分 ∠EFD，反向延长 FG 交 EP 于点 P，求 ∠P 的度数。

  27. 新定义：若关于 的一元一次方程 = 0(a ≠0)的解是 ，一个关于 的方程有解 。满足 + = 100，则称关于 的方程为这个一元一次方程的 “满分方程”。例如：一元一次方程 = 0 的解是 = 99，方程 +1 = 2 的所有解是 = 1 或 = ，当 = 1 时，+ = 100，则 +1 = 2 为一元一次方程 = 0 的 “满分方程”。

    （1）已知关于 的方程：① = 2，② = 0，以上哪个方程是一元一次方程 = 0 的 “满分方程” 请直接写出正确的序号              
    （2）若关于 的方程 = 5 是关于 的一元一次方程 = 的 “满分方程”，请求出 的值;
    （3）如关于 的方程 = 是关于 的一元一次方程 = 的 “满分方程”， 请直接写出 与 之闸的数量关系。

  28. 直线 AB，CD 相交于点 O，∠ EOF = 90°，射线 OM 平分 ∠ COF。(本题中所有角的度数均不超过 180°)
    image-20260124083215138
    （1） 若直线 AB 与直线 CD 垂直(即 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ BOD = ∠ AOD = 90°)。
    ① 将 ∠ EOF 绕点 O 旋转至图 1 的位置，∠ BOE = 40°，∠ AOM =           。
    ② 将 ∠ EOF 绕点 O 旋转至图 2 的位置，∠ AOM = a(135° < a < 180°)，求 ∠ BOE 的度数(用含 a 的代数式表示)。
    （2 ) 如图 3，若 ∠ BOC = 60°，将 ∠ EOF 绕点 O 顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中 ∠ AOM 与 ∠ BOE 所有的数量关系。

​

① ②

+,-, ×, ÷, =, ≠, ≤, ≥, <,> ∠ °